เซต (sets)

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

• การเขียนเซต
	การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
	1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}
			B = { a, e, i, o, u}
			C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
	2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
		ตัวอย่างเช่น		A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
				B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}
				C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

	สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้
	I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ	Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
	I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก	Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
	I แทนเซตของจำนวนเต็ม	Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
	N แทนเซตของจำนวนนับ	R แทนเซตของจำนวนจริง

• เซตจำกัด
	บทนิยาม	เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้
		ตัวอย่างเช่น	A = {1, 2, 3, 4, 5}	มีสมาชิก 5 สมาชิก
			B = { a, e, i, o, u}	มีสมาชิก 5 สมาชิก

• เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเช่่น C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

• เซตที่เท่ากัน

เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

ตัวอย่างเช่่น		A = {1, 2, 3, 4, 5}
		B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
	∴	A = B

• เซตว่าง

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

ตัวอย่างเช่่น	A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}	∴ A = Ø
	B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }	∴ ฺB = Ø
เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

• เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่างเช่่น		ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
		U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
	หรือ	U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/set_mea.html

ค่าสัมบูรณ์

บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
	นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
	1. |x| = |-x|
	2. |xy| = |x||y|
	3. =
	4. | x - y | = | y - x |
	5. |x|2 = x2
	6. | x + y | ≤ |x| +|y|
	7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	|x| < a หมายถึง -a < x < a
	|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
	8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
	|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
	|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
------------------------------------------------------------------- ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_abs.html

สัจพจน์ของความบริบูรณ์

สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม	ถ้า S เป็นสับเซตของ R
	S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
	สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"
บทนิยาม	ถ้า S เป็นสับเซตของ R
	a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
	1. a เป็นขอบเขตบนของ S
	2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1	ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
	จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2	ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
	จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3	ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
	จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4	ให้ S = [-2, ∞]
	จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5	ให้ S ≠ Ø
	จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
ที่มา :	http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_tau.html

ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น

• การหารลงตัว
	บทนิยาม	กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน  “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
	ตัวอย่างเช่น	3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n
		-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
		6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
	ทฤษฎีบทที่ 1	กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
	ทฤษฎีบทที่ 2	กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
	ทฤษฎีบทที่ 3	กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
	นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก  c ที่ทำให้ c = mn
	ตัวอย่างเช่น
	จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
	ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้                      a = bq + r เมื่อ 0 r |b| นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
	ตัวอย่างที่ 1	กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
		เขียนให้อยู่ในรูป	a = bq + r
			48 = 7 × 6 +6
		∴	q = 6 และ r = 6
• ตัวหารร่วม
	ตัวหารร่วม
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c      ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
	ตัวหารร่วมมาก
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
	วิธีทำ	ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
		ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
	∴	ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
	∴	ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
		นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
	วิธีทำ
	ในที่นี้ rk = 12      ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
	บทนิยาม	จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
• ตัวคูณร่วมน้อย
	ตัวคูณร่วมน้อย
	กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
	ตัวอย่างเช่น	จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
	วิธีทำ	พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
	∴	พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
	∴	พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
		พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
	ที่มา :	นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ  http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_the.html

สมบัติการไม่เท่ากัน

บทนิยาม	a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b
	a > b     หมายถึง    a มากกว่า b
• สมบัติของการไม่เท่ากัน
	กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	1.	สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
	2.	สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
	3.	จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
		a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
		a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
	4.	สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
		ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
		ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
	5.	สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
	6.	สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
		ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
		ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
บทนิยาม	a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

การแก้สมการตัวแปรเดียว

บทนิยาม	สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
	anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
	เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
ตัวอย่างเช่น	x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
	4x2 + 4x +1 = 0
	2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
• การแก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0                  เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถ                  หาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
	การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
	นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
	ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
	แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
	นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
	ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
	(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
	(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
	ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
	1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
	f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	2. นำ x - c หรือ x - ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
	จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
	3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
	∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
	∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ = x2 - x - 2
	x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
	= (x-1)(x-2)(x+1)
	x3 - 2x2 - x + 2 = 0
	(x-1)(x-2)(x+1) = 0
	x = 1, 2, -1
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
	∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
	∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
	= (x-1)(x-3)(x-6)
	x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
	(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
	x = 1, 3, 6
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
	∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
	= 27 - 9 - 15 - 3
	= 0
	∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
	= (x-3)(x+1)(x+1)
	x3 - x2 - 5x - 3 = 0
	(x-3)(x+1)(x+1) = 0
	x = 3, -1
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 4	จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
	∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
	= 16 - 12 - 34 +30
	= 0
	∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
	= (x-2)(2x - 5)(x+3)
	2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
	(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
	x =2, , -3
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 5	จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4
	∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
	= -48 + 44 + 8 - 4
	= 0
	∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
	= (x+2)(3x-2)(2x+1)
	6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
	(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
	x = -2, ,
ที่มา :	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, , } http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/real_sol.html